Question

【题目】春节期间,由于高速公路继续实行小型车免费,因此高速公路上车辆较多,某调查公司在某城市从七座以下小型汽车中按进入服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查,将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段:[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90]后得到如图的频率分布直方图.

（Ⅰ）此调查公司在采样中,用到的是什么抽样方法？

（Ⅱ）求这40辆小型车辆车速的众数、中位数以及平均数的估计值;

（Ⅲ）若从车速在[60,70)的车辆中任抽取2辆,求至少有一辆车的车速在[65,70)的概率.

Answer 1

【答案】（I）系统抽样；（II）众数,中位数；（III）.

【解析】试题分析：（1）根据抽样方法特征可知是系统抽样。（2）由频率分布直方图，最高点中点为众数，面积一半的分界点为中位数，由平均数公式可算得平均数。（3）从图中可知,车速在[60,65)的车辆数为 2(辆)，车速在[65,70)的车辆数为 4(辆)，可用枚举法及古典概型求得概率。

试题解析：

（Ⅰ）由题意知这个抽样是按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，是一个具有相同间隔的抽样，并且总体的个数比较多，这是一个系统抽样。

故调查公司在采样中,用到的是系统抽样,(2分)

（Ⅱ）众数的估计值为最高的矩形的中点,即众数的估计值等于77.5(4分)

设图中虚线所对应的车速为x，则中位数的估计值为：

0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×()=0.5，

解得=77.5,即中位数的估计值为77.5(6分)

（Ⅲ）从图中可知,车速在[60,65)的车辆数为： =0.01×5×40=2(辆),(7分)

车速在[65,70)的车辆数为： =0.02×5×40=4(辆)(8分)

设车速在[60,65)的车辆设为a,b,车速在[65,70)的车辆设为c，d，e，f，

则所有基本事件有：(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f)共15种(10分)

其中车速在[65,70)的车辆至少有一辆的事件有：(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f)共14种(12分)

所以,车速在[65,70)的车辆至少有一辆的概率为.(13分)