【题目】已知正方形ABCD,E,F分别为AB,CD的中点,将△ADE沿DE折起,使△ACD为等边三角形,如图所示,记二面角A-DE-C的大小为.
(1)证明:点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上;
(2)求角的正弦值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
(1)过点作
平面
,垂足为
,连接
,
.证明
在
的垂直平分线上,则点
在平面
内的射影
在直线
上,
(2)以点为坐标原点,以
所在直线为
轴,
所在直线为
轴,过
点作平行于
的向量为
轴建立空间直角坐标系.设正方形
的边长为
,分别求出平面
与平面
的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值可得角
的正弦值.
(1)证明:过点A作AG⊥平面BCDE,垂足为G,连接GC,GD.
因为△ACD为等边三角形,所以AC=AD,所以点G在CD的垂直平分线上.
又因为EF是CD的垂直平线,所以点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.
另证:过点A作AG⊥EF,再证AG⊥CD,从而证得AG⊥平面BCDE,
即点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上
(2)解:以G为坐标原点,GA所在直线为z轴,GF所在直线为y轴,过点G作平行于DC的直线为x轴建立空间直角坐标系.
设正方形ABCD的边长为2a,连接AF,
则 ,
,
所以
设平面的一个法向量为
,则
,
令,得
,又平面
的一个法向量
所以,
.
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【题目】如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差都大于2,则称这个数列为“阿当数列”.
(1)若数列为“阿当数列”,且
,
,
,求实数
的取值范围;
(2)是否存在首项为1的等差数列为“阿当数列”,且其前
项和
满足
?若存在,请求出
的通项公式;若不存在,请说明理由.
(3)已知等比数列的每一项均为正整数,且
为“阿当数列”,
,
,当数列
不是“阿当数列”时,试判断数列
是否为“阿当数列”,并说明理由.
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【题目】2021年起,福建省高考将实行“3+1+2”新高考.“3”是统一高考的语文、数学和英语三门;“1”是选择性考试科目,由考生在物理、历史两门中选一门;“2”也是选择性考试科目,由考生从化学、生物、地理、政治四门中选择两门,则某考生自主选择的“1+2”三门选择性考试科目中,历史和政治均被选择到的概率是( )
A.B.
C.
D.
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【题目】已知集合,若对于任意实数对
,存在
,使
成立,则称集合
是“垂直对点集” .给出下列四个集合:
① ;
②;
③ ;
④.
其中是“垂直对点集”的序号是( ).
A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④
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【题目】已知正方形ABCD,E,F分别为AB,CD的中点,将△ADE沿DE折起,使△ACD为等边三角形,如图所示,记二面角A-DE-C的大小为.
(1)证明:点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上;
(2)求角的正弦值.
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【题目】若点为点
在平面
上的正投影,则记
.如图,在棱长为
的正方体
中,记平面
为
,平面
为
,点
是棱
上一动点(与
、
不重合)
,
.给出下列三个结论:
①线段长度的取值范围是
;
②存在点使得
平面
;
③存在点使得
.
其中,所有正确结论的序号是( )
A.①②③B.②③C.①③D.①②
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