Question

函数f（x）=

ax+b

x2+1

为R上的奇函数，且f(

1

2

)=

2

5

．
（1）求a，b的值．
（2）证明f（x）在（-1，1）上为增函数．

Answer 1

分析：（1）根据函数是奇函数且f(

1

2

)=

2

5

，建立方程关系即可求a，b的值．
（2）根据函数单调性的定义进行证明即可．

解答：解：（1）∵f（x）=

ax+b

x2+1

为R上的奇函数，
∴f（0）=b=0．
∵f（

1

2

 ）=

2

5

，
∴a=1
（2）任取x₁，x₂，．使-1＜x₁＜x₂＜1，
则f（x₂）-f（x₁）=

(x1-x2)(x1x2-1)

(x22+1)(x12+1)

∵x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，
∵-1＜x₁＜x₂＜1，
∴x₁x₂-1＜0
又∵（x₂²+1）（x₁²+1）＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在（-1，1）上为增函数．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的定义和应用，利用定义法是解决本题的关键．