Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n，对任意n∈N^*，满足（1-r）S_n=1-a_n+1，（r＞0），a₁=1，
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）设b_n=a_2n-1+a_2n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求

lim

n→∞

1

Sn

．

Answer 1

（1）因为数列{a_n}的前n项和S_n，对任意n∈N^*，满足（1-r）S_n=1-a_n+1，（r＞0），a₁=1，
所以（1-r）S_n-1=1-a_n，所以（1-r）a_n=-a_n+1+a_n，
所以

an+1

an

=r，
所以数列{a_n}是以1为首项以r为公比的等比数列．
（2）由（1）可知，a_n=r^n-1．
又b_n=a_2n-1+a_2n，
S_n=b₁+b₂+…+b_n=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_2n-1+a_2n=

2n    r=1 1-r2n 1-r      r≠1

，
当1＞r＞0时，

lim

n→∞

1

Sn

=

lim

n→+∞

1-r

1-r2n

=1-r．
当r=1时

lim

n→∞

1

Sn

=

lim

n→∞

1

2n

=0；
当r＞1时，

lim

n→∞

1

Sn

=

lim

n→+∞

1-r

1-r2n

=0．