Question

已知函数f（x）=x²+lnx，数列{a_n}的首项为m（m为大于1的常数），且a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）
（1）设F（x）=f（x）-x，求函数F（x）的单调区间；
（2）求证：?_n∈N^*，a_n+1＞a_n＞1；
（3）若当t∈（-∞，e+

1

e

）时，a_n+1＞ta_n，恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：数列与函数的综合,利用导数研究函数的单调性,数列递推式

专题：导数的综合应用,等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得当x＞0时，F′(x)=2x+

1

x

-1=

2x2-x+1

x

＞0，从而得到F（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．
（2）利用数学归纳法证明?_n∈N^*，a_n+1＞a_n＞1．
（3）由已知条件推导出t＜a_n+

lnan

an

，设g（x）=x+

lnx

x

，利用导数性质推导出g（x）=x+

lnx

x

在（1，+∞）上单调递增，由此能求出m的取值范围．

解答： （1）解：由题设F（x）=x²+lnx-x，
∵当x＞0时，F′(x)=2x+

1

x

-1=

2x2-x+1

x

＞0，
∴F（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．
（2）证明：①当n=1时，a₂-a₁=a12+lna1-a1=F（a₁），
∵a₁=m＞1，由（1）知F（a₁）＞F（1）=0，
∴a₂＞a₁＞1成立．
②假设n=k（k∈N^*）结论成立，即a_k+1＞a_k＞1成立．
则a_k+2-a_k+1=ak+12+lnak+1-ak+1=F（a_k+1），
∵a_k+1＞a_k＞1，F（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴F（a_k+2）＞F（a_k）＞F（1）＞0，
∴a_k+2＞a_k+1＞1，
∴n=k+1时，结论成立，
由①②知：?_n∈N^*，a_n+1＞a_n＞1．
（3）解：∵当t∈（-∞，e+

1

e

）时，a_n+1＞ta_n恒成立，
∴an2+lnan＞tan，又a_n＞1，∴t＜a_n+

lnan

an

，
设g（x）=x+

lnx

x

，则g′(x)=1+

1-lnx

x2

=

x2+1-lnx

x2

，
设t（x）=x²+1-lnx，则t′(x)=2x-

1

x

=

2x2-1

x

，
∵当x＞1时，t′（x）＞0，
∴t（x）在（1，+∞）上单调递增，
于是当x∈（1，+∞）时，t（x）＞t（1）-2＞0，
∴当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，∴g（x）=x+

lnx

x

在（1，+∞）上单调递增，
由（2）知a_n≥a₂-m＞1，
∴an+

lnan

an

≥m+

lnm

m

=g(m)，
当且仅当m=1时取等号，
∵t∈（-∞，e+

1

e

）时，a_n+1＞ta_n，恒成立，
∴g（m）≥e+

1

e

=g（e）．
∴m的取值范围是[e，+∞）．

点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查不等式的证明，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．