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【题目】椭圆的左、右焦点分别是,离心率为,过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1

(1)求椭圆的方程;

(2)点是椭圆上除长轴端点外的任一点,连接,设的角平分线的长轴于点,求的取值范围;

(3)在(2)的条件下,过点作斜率为的直线,使得与椭圆有且只有一个公共点,设直线的斜率分别为,若,证明为定值,并求出这个定值.

【答案】(1);(2);(3)见解析,定值为

【解析】

(1)代入椭圆方程可得,从而可得,再结合,即可求椭圆的方程;

(2),分别求出直线的方程,利用角平分线的性质:角平分线上任一点到角两边的距离相等,列出关于方程,结合消去,将表示,利用的有界性即可求出的范围;

(3)将直线方程与椭圆的方程联立,消去,得到关于的一元二次方程,因与椭圆有且只有一个公共点,故由,可求出,再利用斜率公式求出,即可求出定值.

(1)由于,将代入椭圆方程,得

由题意知,即

,所以

所以椭圆的方程为

(2)设,又,所以直线的方程分别为

由题意知

由于点在椭圆上,所以

所以

因为,可得

所以,因此

(3)设,则直线的方程为

联立得

整理得

由题意,即

,所以,故

由(2)知

所以

因此为定值,这个定值为

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