Question

在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=AD=1，PD=

3

，CD=2．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面PBD；
（Ⅱ）点E是线段PC上的一个动点，二面角E-BA-D的大小是否可以为30°？若可以，求出线段PE的长．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由线面垂直得PD⊥BC，由勾股定理的逆定理得CB⊥BD，由此能证明BC⊥平面PBD．
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E-BA-D的大小可以为30°，线段PE的长为

2 7

3

．

解答： （Ⅰ）证明：∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC．…（2分）
在直角梯形ABCD中，∠BAD=90°，AB=AD=1，
∴BD=

2

，BC²=（CD-AB）²+AD²=2，
在△CBD中，由勾股定理的逆定理知，
△CBD是直角三角形，且CB⊥BD．…（4分）
∵PD⊥BC，BC⊥BD，BD∩PD=D，
∴BC⊥平面PBD．…（5分）
（Ⅱ）解：建立如图所示的空间直角坐标系．
D（0，0，0）、P(0，0，

3

)、A（0，1，0）、B（1，1，0）、C（2，0，0）．…（6分）
平面BAD的一个法向量为

m

=(0，0，1)，…（7分）
设

PE

=λ

PC

（0≤λ≤1），则E(2λ，0，

3

-

3

λ)，

AB

=(1，0，0)，

AE

=(2λ，-1，

3

-

3

λ)，
设平面EBA的一个法向量为

n

=(x，y，z)，
则

n • AB =x=0 n • AE =2λx-y+( 3 - 3 λ)z=0

，
取z=1，得

n

=(0，

3

-

3

λ，1)，
∵二面角E-BA-D的大小为30°，
∴cos30°=cos＜

n

，

m

＞=

1

( 3 - 3 λ)2+1

，
解得λ=

2

3

，…（10分）
∴|PE|=

7

λ=

2 7

3

．…（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查角能否为30°的判断与求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．