Question

2．已知函数f（x）=a${\;}^{1+\sqrt{1-{x}^{2}}}$+b（a＞0且a≠1）最大值为4，最小值为2，求实数a与b的值．

Answer 1

分析 通过题意易知1+$\sqrt{1-{x}^{2}}$∈[1，2]，分0＜a＜1、a＞1两种情况讨论即可．

解答 解：依题意可知$\sqrt{1-{x}^{2}}$∈[0，1]，
∴1+$\sqrt{1-{x}^{2}}$∈[1，2]，
①当0＜a＜1时，y=a^x为减函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b=4}\\{{a}^{2}+b=2}\end{array}\right.$，显然无解；
②当a＞1时，y=a^x为增函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b=2}\\{{a}^{2}+b=4}\end{array}\right.$，
两式相减得：a²-a-2=0，
∴（a-2）（a+1）=0，
解得：a=2或a=-1（舍），
∴b=2-a=2-2=0；
综上所述，a=2，b=0．

点评 本题考查函数的单调性，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．