Question

4．已知函数f（x）=（sinωx+cosωx）²-2cos²ωx+a（ω＞0），若f（x）的最小正周期为π，最小值为$\sqrt{2}$．
（1）求ω、a的值；
（2）将y=f（x）的函数图象向右平移$\frac{π}{12}$后得到y=g（x），求g（x）在[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]上的单调性．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简可求解析式f（x）=$\sqrt{2}$sin（2ωx-$\frac{π}{4}$）+a，利用周期公式即可求ω，由f（x）的最小值为$\sqrt{2}$，可得a$-\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，解得a．
（2）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求g（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{5π}{12}$）+2$\sqrt{2}$，分别求出单调递增（减）区间，结合范围[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]即可得解．

解答 解：（1）∵f（x）=（sinωx+cosωx）²-2cos²ωx+a（ω＞0）
=1+sin2ωx-（1+cos2ωx）+a
=sin2ωx-cos2ωx+a
=$\sqrt{2}$sin（2ωx-$\frac{π}{4}$）+a，
又∵f（x）的最小正周期为π，∴$\frac{2π}{2ω}=π$，解得ω=1，
∴f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+a，
∴由f（x）的最小值为$\sqrt{2}$，可得：a$-\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，解得a=2$\sqrt{2}$．
（2）∵将y=f（x）的函数图象向右平移$\frac{π}{12}$后得到y=g（x）=$\sqrt{2}$sin[2（x-$\frac{π}{12}$）-$\frac{π}{4}$]+2$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{5π}{12}$）+2$\sqrt{2}$，
∴2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{5π}{12}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间为：[kπ-$\frac{π}{24}$，kπ+$\frac{11π}{24}$]，k∈Z，
2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{5π}{12}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z可解得f（x）的单调递减区间为：[kπ+$\frac{11π}{24}$，kπ+$\frac{23π}{24}$]，k∈Z，
∴可得g（x）在[-$\frac{π}{3}$，-$\frac{π}{24}$]单调递减，在[-$\frac{π}{24}$，$\frac{11π}{24}$]上单调递增，在[$\frac{11π}{24}$，$\frac{π}{2}$]上单调递减．

点评 本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换的应用，考查了三角函数中的恒等变换应用和正弦函数的图象和性质，属于中档题．