Question

在科普知识竞赛前的培训活动中，将甲、乙两名学生的6次培训成绩（百分制）制成如图所示的茎叶图：
（Ⅰ）若从甲、乙两名学生中选择1人参加该知识竞赛，你会选哪位？请运用统计学的知识说明理由；
（Ⅱ）若从学生甲的6次培训成绩中随机选择2个，记选到的分数超过87分的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,茎叶图,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）分别求出从甲、乙两名学生中的平均成绩和方差，得到甲、乙的平均水平一样，但乙的方差小，则乙发挥更稳定，故应选择学生乙参加知识竞赛．
（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答： （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）学生甲的平均成绩

.

x

甲   =

68+76+79+86+88+95

6

=82，
学生乙的平均成绩

.

x

乙=

71+75+82+84+86+94

6

=82，
又S²_甲=

1

6

[（68-82）²+（76-82）²+（79-82）²+（86-82）²+（88-82）²+（95-82）²]=77，
S²_乙=

1

6

[（71-82）²+（75-82）²+（82-82）²+（84-82）²+（86-82）²+（94-82）²]=

167

3

，
则

.

x

甲=

.

x

乙，S²_甲＞S²_乙，
说明甲、乙的平均水平一样，但乙的方差小，则乙发挥更稳定，故应选择学生乙参加知识竞赛．（6分）
（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0，1，2，
则P（ξ=0）=

C 2 4

C 2 6

=

2

5

，P（ξ=1）=

C 1 4 C 1 2

C 2 6

=

8

15

，P（ξ=2）=

C 2 2

C 2 6

=

1

15

，
ξ的分布列为

ξ	0	1	2
P	2 5	8 15	1 15

所以数学期望Eξ=0×

2

5

+1×

8

15

+2×

1

15

=

2

3

．（12分）

点评：本题考查平均数和方差的求法及应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．