Question

已知函数，曲线在点处的切线方程为。
（1）求、的值；
（2）如果当，且时，，求的取值范围。

Answer 1

（1），   （2）（-，0]

（1）
由于直线的斜率为，且过点，故即

解得，。
（2）由（1）知，所以
。
考虑函数，则。
(i)设，由知，当时，，h(x)递减。而故当时，，可得；
当x（1，+）时，h（x）<0，可得 h（x）>0
从而当x>0,且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.

（ii）设0<k<1.由于=的图像开口向下，且，对称轴x=.当x（1，）时，（k-1）（x² +1）+2x>0,故 (x）>0,而h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾。
（iii）设k1.此时，（x）>0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得 h（x）<0,与题设矛盾。
综合得，k的取值范围为（-，0]
点评：求参数的范围一般用离参法，然后用导数求出最值进行求解。若求导后不易得到极值点，可二次求导，还不行时，就要使用参数讨论法了。即以参数为分类标准，看是否符合题意。求的答案。此题用的便是后者。