Question

13．设f（x）=$\frac{-{2}^{x}+a}{{2}^{x+1}+b}$（a＞0，b＞0）．
（1）当a=b=1时，证明：f（x）不是奇函数；
（2）设f（x）是奇函数，求a与b的值；
（3）在（2）的条件下，试证明函数f（x）的单调性，并解不等式f（1-m）+f（1+m²）＜0．

Answer 1

分析 （1）举反例，根据f（-1）≠-f（1），可得f（x）不是奇函数．
（2）根据f（-x）=-f（x）恒成立，求得a与b的值．
（3）在定义域中任取两个实数x₁、x₂，且x₁＜x₂，求得f（x₁）＞f（x₂），可得函数f（x）在R上为单调减函数．化简不等式为f（1-m）＜f（m²-1），
可得 1-m＞m²-1，由此求得原不等式的解集．

解答 解：（1）当a=b=1时，f（x）=$\frac{-{2}^{x}+a}{{2}^{x+1}+b}$=$\frac{1{-2}^{x}}{1{+2}^{x+1}}$，∴$f（1）=-\frac{1}{5}$，$f（-1）=\frac{1}{4}$，
所以，f（-1）≠-f（1），∴f（x）不是奇函数．
（2）若f（x）是奇函数时，f（-x）=-f（x），即 $\frac{a{-2}^{-x}}{b{+2}^{1-x}}$=-$\frac{a{-2}^{x}}{b{+2}^{x+1}}$对定义域内任意实数x成立．                       
化简整理得（2a-b）2^2x+（2ab-4）2^x+（2a-b）=0，这是关于x的恒等式，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a-b=0}\\{2ab-4=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$．
经检验，$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$符合题意．     
（3）$f（x）=\frac{{-{2^x}+1}}{{{2^{x+1}}+2}}=-\frac{1}{2}（1-\frac{2}{{{2^x}+1}}）=-\frac{1}{2}+\frac{1}{{{2^x}+1}}$，
在定义域中任取两个实数x₁、x₂，且x₁＜x₂，则$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{{{2^{x_2}}-{2^{x_1}}}}{{（{2^{x_1}}+1）（{2^{x_2}}+1）}}$，
∵x₁＜x₂，∴$0＜{2^{x_1}}＜{2^{x_2}}$，从而f（x₁）-f（x₂）＞0，∴函数f（x）在R上为单调减函数．
∴f（1-m）+f（1-m²）＜0，即 f（1-m）＜-f（1-m²），∴f（1-m）＜f（m²-1），
∴1-m＞m²-1，求得-2＜m＜1，∴原不等式的解集为（-2，1）．

点评 本题主要考查函数的奇偶性的判断和性质，利用函数的单调性的定义判断函数的单调性，属于中档题．