Question

1．求二项式（${\sqrt{x}$+$\frac{2}{x^2}}$）⁸的展开式中：求：
（1）二项式系数最大的项；
（2）系数最大的项．

Answer 1

分析 （1）二项式系数最大的项即展开式的中间项，也即第5项，利用通项公式即可得出．
（2）设第r+1项的系数值最大，则$\left\{\begin{array}{l}{{∁}_{8}^{r}{2}^{r}≥{∁}_{8}^{r-1}•{2}^{r-1}}\\{{∁}_{8}^{r}{2}^{r}≥{∁}_{8}^{r+1}{2}^{r+1}}\end{array}\right.$，解出即可得出．

解答 解：（1）二项式系数最大的项即展开式的中间项，也即第5项，
所求项为T₄₊₁=${∁}_{8}^{4}（\sqrt{x}）^{4}（\frac{2}{{x}^{2}}）^{4}$=$\frac{1120}{{x}^{6}}$．
（2）设第r+1项的系数值最大，则$\left\{\begin{array}{l}{{∁}_{8}^{r}{2}^{r}≥{∁}_{8}^{r-1}•{2}^{r-1}}\\{{∁}_{8}^{r}{2}^{r}≥{∁}_{8}^{r+1}{2}^{r+1}}\end{array}\right.$，
∴5≤r≤6，即第6项和第7项的系数最大，
${T_{5+1}}=C_8^5{（{\sqrt{x}}）^3}{（{\frac{2}{x^2}}）^5}=1792{x^{-\frac{17}{2}}}$，
${T_{6+1}}=C_8^6{（{\sqrt{x}}）^2}{（{\frac{2}{x^2}}）^6}=1792{x^{-11}}$．

点评 本题考查了二项式定理的通项公式及其系数性质、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．