Question

6．设a∈R，已知函数f（x）=ax³-3x²．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设g（x）=f（x）+f′（x），若?x∈[1，3]，有g（x）≤0，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）题目转化为a≤$\frac{{3x}^{2}+6x}{{x}^{3}+{3x}^{2}}$=$\frac{3x+6}{{x}^{2}+3x}$对x∈[1，3]恒成立．构造函数利用导数求解函数的最小值，即可得到实数a的取值范围．

解答 解：（1）f′（x）=3ax²-6x，
a=0时，f′（x）=-6x，f′（x）＞0，得x＜0，f′（x）＜0，得x＞0；
a＞0时，f′（x）＞0，得x＞$\frac{2}{a}$或x＜0，f′（x）＜0，得0＜x＜$\frac{2}{a}$；
a＜0时，f′（x）＞0，得$\frac{2}{a}$＜x＜0，f′（x）＜0，得x＜$\frac{2}{a}$或x＞0；
综上所述：a=0时，f（x）的单调递增区间为（-∞，0），单调递减区间为（0，+∞）；
a＞0时，f（x）的单调递增区间为（-∞，0），（$\frac{2}{a}$，+∞），单调递减区间为（0，$\frac{2}{a}$）；
a＜0时，f（x）的单调递增区间为（$\frac{2}{a}$，0），单调递减区间为（-∞，$\frac{2}{a}$），（0，+∞）．
（2）依题意，?x∈[1，3]，ax³-3x²+3ax²-6x≤0，
等价于不等式a≤$\frac{{3x}^{2}+6x}{{x}^{3}+{3x}^{2}}$=$\frac{3x+6}{{x}^{2}+3x}$在x∈[1，3]有解，
令h（x）=$\frac{3x+6}{{x}^{2}+3x}$，（x∈[1，3]），则h′（x）=-$\frac{3{[（x+2）}^{2}+2]}{{{（x}^{2}+3x）}^{2}}$＜0，
所以h（x）在区间[1，3]上是减函数，所以h（x）的最大值为h（1）=$\frac{9}{4}$，
所以a≤$\frac{9}{4}$，即实数a的取值范围为（-∞，$\frac{9}{4}$]．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．