Question

11．2014年12月28日开始，北京市地铁按照里程分段计价．具体如下表：

乘坐地铁方案 （不含机场线）

6公里（含）内3元； 6公里至12公里（含）内4元； 12公里至22公里（含）内5元； 22公里至32公里（含）内6元； 32公里以上部分，每增加l元可乘坐20公里（含）．

已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过5元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选出120人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示．
（Ⅰ）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选1人，试估计此人乘坐地铁的票价大于3元的概率为$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选2人，记X为这2人乘坐地铁的票价和，根据统计图，并以频率作为概率，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接由频率分布直方图得到此人乘坐地铁的票价大于3元的概率为$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）120人中地铁票价为3元、4元、5元，X的所有可能取值为6，7，8，9，10．由频率分布直方图得到地铁票价为3元、4元、5元的频率，以频率作为概率求得P（X=6），P（X=7），P（X=8），P（X=9），P（X=10），列出频率分布表，代入期望公式求得期望．

解答 解：（Ⅰ）由频率分布直方图可得，此人乘坐地铁的票价大于3元的概率为$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）X的所有可能取值为6，7，8，9，10．
根据统计图，可知120人中地铁票价为3元、4元、5元的频率分别为$\frac{60}{120}$，$\frac{40}{120}$，$\frac{20}{120}$，
即$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{6}$，
以频率作为概率，知乘客地铁票价为3元、4元、5元的概率分别为$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{6}$．
∴P（X=6）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，
P（X=7）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}+\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$，
P（X=8）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{6}+\frac{1}{6}×\frac{1}{2}+\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{5}{18}$，
P（X=9）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{6}+\frac{1}{6}×\frac{1}{3}=\frac{1}{9}$，
P（X=10）=$\frac{1}{6}×\frac{1}{6}=\frac{1}{36}$．
∴随机变量X的分布列为：

X	6	7	8	9	10
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{5}{18}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{36}$

∴$E（X）=6×\frac{1}{4}+7×\frac{1}{3}+8×\frac{5}{18}+9×\frac{1}{9}+10×\frac{1}{36}$=$\frac{22}{3}$．

点评 本题考查频率分布直方图，考查离散型随机变量的分布列及其数学期望的求法，关键是对题意的理解，是中档题．