Question

13．已知函数f（x）=2^x|2^x-a|+2^x+1-3，其中a为实数．
（1）若a=4，x∈[1，3]，求f（x）的值域；
（2）若f（x）在R上单调，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令2^x=t则t＞0，f（x）=t|t-a|+2t-3=g（t），由条件可得t的范围，讨论t的范围，去绝对值，由二次函数的值域求法，即可得到所求值域；
（2）t=2^x关于x递增，由于f（x）=t|t-a|+2t-3=g（t）与f（x）同增减，由f（x）单调，g（t）也单调，讨论t＞a，g（t）单调递增，0＜t≤a时，g（t）也单调递增，由对称轴和区间的关系，可得a的不等式，解得求交集，即可得到a的范围．

解答 解：（1）令2^x=t则t＞0，f（x）=t|t-a|+2t-3=g（t）
∵x∈[1，3]，∴t∈[2，8]，又a=4，
∴f（x）=g（t）=t|t-a|+2t-3=t|t-4|+2t-3=$\left\{\begin{array}{l}{-{t}^{2}+6t-3，2≤t≤4}\\{{t}^{2}-2t-3，4＜t≤8}\end{array}\right.$，
当2≤t≤4时，g（t）=-t²+6t-3=-（t-3）²+6∈[5，6]；
当4＜t≤8时，g（t）=t²-2t-3=（t-1）²-4∈（5，45]．
综上a=4，x∈[1，3]时，f（x）的值域为[5，45]；
（2）t=2^x关于x递增，由于f（x）=t|t-a|+2t-3=g（t）与f（x）同增减，
由f（x）单调，g（t）也单调，
g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{-{t}^{2}+（a+2）t-3，0＜t≤a}\\{{t}^{2}-（a-2）t-3，t＞a}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{-（t-\frac{a+2}{2}）^{2}+\frac{（a+2）^{2}}{4}-3，0＜t≤a}\\{（t-\frac{a-2}{2}）^{2}-\frac{（a-2）^{2}}{4}-3，t＞a}\end{array}\right.$，
则当t＞a时，g（t）=（t-$\frac{a-2}{2}$）²-$\frac{（a-2）^{2}}{4}$-3单调递增，
g（t）的对称轴t=$\frac{a-2}{2}$≤a，解得a≥-2，①
0＜t≤a时，g（t）=-（t-$\frac{a+2}{2}$）²+$\frac{（a+2）^{2}}{4}$-3也要单调递增，
g（t）的对称轴t=$\frac{a+2}{2}$≥a，解得a≤2．②
则a的范围是-2≤a≤2．

点评 本题考查函数的单调性和值域的求法，考查二次函数的单调性的运用，以及分类讨论的思想方法，属于中档题．