Question

2．设f（x）=$\frac{1}{{{3^x}+\sqrt{3}}}$
（Ⅰ）计算：f（0）+f（1），f（-1）+f（2），f（-2）+f（3）的值；
（Ⅱ）猜想f（x）具备的一个性质，并证明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知中f（x）=$\frac{1}{{{3^x}+\sqrt{3}}}$，将对应的自变量代入，可逐一运算出f（0）+f（1），f（-1）+f（2），f（-2）+f（3）的值；
（Ⅱ）由（I）中结论可猜想：当x₁+x₂=1时，$f（{x_1}）+f（{x_2}）=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，代入函数解析式，并利用指数的运算性质化简，可得答案．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=$\frac{1}{{{3^x}+\sqrt{3}}}$，
∴$f（0）+f（1）=\frac{1}{{{3^0}+\sqrt{3}}}+\frac{1}{{{3^1}+\sqrt{3}}}=\frac{1}{{1+\sqrt{3}}}+\frac{1}{{3+\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}+\frac{{3-\sqrt{3}}}{6}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$…（2分）
同理，可得$f（-1）+f（2）=\frac{{\sqrt{3}}}{3}，f（-2）+f（3）=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$…（4分）
（Ⅱ）猜想：当x₁+x₂=1时，$f（{x_1}）+f（{x_2}）=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$…（6分）
证明：设x₁+x₂=1，
$f（{x_1}）+f（{x_2}）=\frac{1}{{{3^{x_1}}+\sqrt{3}}}+\frac{1}{{{3^{x_2}}+\sqrt{3}}}$
=$\frac{（{3}^{{x}_{2}}+\sqrt{3}）（{3}^{{x}_{1}}+\sqrt{3}）}{（{3}^{{x}_{1}}+\sqrt{3}）（{3}^{{x}_{2}}+\sqrt{3}）}$
=$\frac{{3}^{{x}_{1}}+{3}^{{x}_{2}}+2\sqrt{3}}{{3}^{{x}_{1}+{x}_{2}}+\sqrt{3}（{3}^{{x}_{1}}+{3}^{{x}_{2}}）+3}$
=$\frac{{3}^{{x}_{1}}+{3}^{{x}_{2}}+2\sqrt{3}}{\sqrt{3}（{3}^{{x}_{1}}+{3}^{{x}_{2}}+2\sqrt{3}）}$
=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴x₁+x₂=1时，$f（{x_1}）+f（{x_2}）=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$…（12分）

点评 本题考查的知识点是函数的值，利用指数的运算性质化简，难度不大，属于中档题．