Question

1．若函数f（x）=e^x+x-2，g（x）=lnx+x²-3，若f（a）=0，g（b）=0，则（　　）

• A． g（a）＞f（b）
• B． g（a）＜f（b）
• C． g（a）≤f（b）
• D． g（a）≥f（b）

Answer 1

分析 先判断函数f（x）和g（x）在R上的单调性，再利用f（a）=0，g（b）=0判断a，b的取值范围即可．

解答 解：由于y=e^x及y=x-2关于x是单调递增函数，∴函数f（x）=e^x+x-2在R上单调递增．
分别作出y=e^x，y=2-x的图象，
∵f（0）=1+0-2＜0，f（1）=e-1＞0，f（a）=0，
∴0＜a＜1．
同理g（x）=lnx+x²-3在R⁺上单调递增，
g（1）=ln1+1-3=-2＜0，
由于g（$\sqrt{3}$）=ln$\sqrt{3}$+（$\sqrt{3}$）²-3=$\frac{1}{2}$ln3＞0，
故由 g（b）=0，
可得1＜b＜$\sqrt{3}$．
∴g（a）=lna+a²-3＜g（1）=ln1+1-3=-2＜0，
f（b）=e^b+b-2＞f（1）=e+1-2=e-1＞0．
∴g（a）＜0＜f（b）．
故选：B．

点评 本题主要考查函数的单调性、不等式与不等关系，熟练掌握函数的单调性、函数零点的判定定理是解题的关键，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．