Question

12．函数f（x）=${log}_{\frac{1}{3}}$（ax²-x+2）在区间[0，1]上单调递增，则实数a的范围为（-1，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 利用换元法，结合复合函数单调性之间的关系进行求解即可．

解答 解：设t=g（x）=ax²-x+2，
则y=${log}_{\frac{1}{3}}$t在定义域上为减函数，
若函数f（x）=${log}_{\frac{1}{3}}$（ax²-x+2）在区间[0，1]上单调递增，
则t=g（x）=ax²-x+2，在区间[0，1]上单调递减，且g（1）＞0，
若a=0，则g（x）=-x+2为减函数，g（1）=2-1=1＞0，满足条件．
若a＞0，则满足$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{-1}{2a}=\frac{1}{2a}≥1}\\{a-1+2＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a≤\frac{1}{2}}\\{a＞-1}\end{array}\right.$，解0＜a≤$\frac{1}{2}$．
若a＜0，则满足$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{-1}{2a}=\frac{1}{2a}＜0}\\{a-1+2＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{a＞-1}\end{array}\right.$，解得-1＜a＜0．
综上-1＜a≤$\frac{1}{2}$．
故答案为：（-1，$\frac{1}{2}$]

点评 本题主要考查复合函数单调性的应用，利用换元法结合对数函数和一元二次函数的单调性是解决本题的关键．