Question

5．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为$\frac{π}{2}$的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移$\frac{π}{6}$个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是（　　）

• A． 在[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上是增函数
• B． 当x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2}{3}$π]时，函数g（x）的值域是[-2，1]
• C． 函数g（x）是奇函数
• D． 其图象关于直线x=-$\frac{π}{4}$对称

Answer 1

分析 由f（x）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为$\frac{π}{2}$的等差数列，得到$\frac{T}{2}=\frac{π}{2}$，从而求出T，进一步得到ω，再由函数图象的平移得到g（x），结合x的范围得到g（x）的值域，说明B正确．

解答 解：由题意可知，$\frac{T}{2}=\frac{π}{2}$，∴T=π，则ω=2．
f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
把函数f（x）的图象沿x轴向左平移$\frac{π}{6}$个单位，得f（x+$\frac{π}{6}$）=2sin[2（x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=2sin（2x+$\frac{π}{2}$）=2cos2x．
即g（x）=2cos2x．
当x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2}{3}$π]时，2x∈[$\frac{π}{3}，\frac{4}{3}π$]，
∴2cos2x∈[-2，1]．
故选：B．

点评 本题考查三角函数的图象和性质，考查了三角函数图象的平移，考查了等差数列概念的应用，是基础题．