如图1.在Rt△ACB中.∠C=90°.BC=3.AC=6.D.E分别是AC.AB上的点.且DE∥BC.DE=2.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置.使A1C⊥CD.如图2．(Ⅰ)求证:A1C⊥平面BCDE,(Ⅱ)若M是A1D的中点.求CM与平面A1BE所成角的大小,(Ⅲ)点F是线段BE的靠近点E的三等分点.点P是线段A1F上的点.直线l过点B且垂直于平面BCDE.求点P到直线l的距离的最小值� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图1，在Rt△ACB中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁C⊥CD，如图2．
（Ⅰ）求证：A₁C⊥平面BCDE；
（Ⅱ）若M是A₁D的中点，求CM与平面A₁BE所成角的大小；
（Ⅲ）点F是线段BE的靠近点E的三等分点，点P是线段A₁F上的点，直线l过点B且垂直于平面BCDE，求点P到直线l的距离的最小值．

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）通过证明DE⊥平面A₁CD，推出A₁C⊥DE，A₁C⊥CD，利用直线与平面垂直的判定定理证明A₁C⊥平面BCDE．
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系C-xyz，推出D，A，B，E，坐标，求出平面A₁BE法向量为

=（x，y，z）．求出

=（-1，0，

）．，利用向量的数量积求解CM与平面A₁BE所成角的大小．
（Ⅲ）设F（x₀，y₀，0），利用向量共线求出F(-

，

，0)，求出P（

-4

λ，

λ，2

-2

λ)，设点P在直线l上的射影为P'，推出P′(0，3，2

-2

λ)，利用点P到直线l的距离的平方，通过λ∈[0，1]，利用二次函数的性质求解点P到直线l的距离的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）证明：由题CD⊥DE，A₁D⊥DE，CD∩A₁D=D
∴DE⊥平面A₁CD，又∵A₁C?平面A₁CD，
∴A₁C⊥DE，又∵A₁C⊥CD，
，DE∩CD=D，∴A₁C⊥平面BCDE．
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系C-xyz，则D（-2，0，0），

A（0，0，2

），B（0，3，0），E（-2，2，0）∴

=(0，3，-2

)，

=(-2，-1，0)
设平面A₁BE法向量为

=（x，y，z）．
则

A1B

•

∴

3y-2

z=0

-2x-y=0

∴

x=-

∴不妨取

=（-1，2，

），
又∵M（-1，0，

）．
∴

=（-1，0，

）．
∴sinθ=|cos＜

，

＞|=

•

|•|

1+3

1+4+3

•

1+3

2•2

，
∴CM与平面A₁BE所成角的大小45°．
（Ⅲ）设F（x₀，y₀，0），则

=(x0，y0-3，0)，

=(-2，-1，0)
由题

∴

x0=-

y 0=

，即F(-

，

，0)
设P(x1，y1，

)，

=(x1，y1，z1-2

)，

A1F

=(-

，

，-2

)
设

A1P

=λ

A1F

，即(x1，y1，z1-2

)=λ(-

，

，-2

)．
∴x1=

-4

λ，y1=

λ，z1=2

-2

λ
即P（

-4

λ，

λ，2

-2

λ)
设点P在直线l上的射影为P'，则P′(0，3，2

-2

λ)
点P到直线l的距离的平方|PP′|2=

λ2+(

λ-3)2=

λ2-14λ+9
由题λ∈[0，1]，故当λ=

时，点P到直线l的距离有最小值

．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成角的大小，点到平面的距离的应用，考查空间想象能力以及计算能力，考查转化思想的应用．

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