Question

已知函数f（x）=4sinxcos（x+

π

3

）+

3

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[-

π

4

，

π

6

]上的最大值和最小值及取得最值时x的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用三角恒等变换进行化简，得到f（x）=2sin（2x+

π

3

），再利用正弦函数的周期性可求得f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）x∈[-

π

4

，

π

6

]⇒2x+

π

3

∈[-

π

6

，

2π

3

]，利用正弦函数的单调性质即可求得f（x）在区间[-

π

4

，

π

6

]上的最大值和最小值及取得最值时x的值．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=4sinx(cosxcos

π

3

-sinxsin

π

3

)+

3

=2sinxcosx-2

3

sin2x+

3

=sin2x+

3

cos2x…（2分）
=2sin(2x+

π

3

)…（4分）
所以T=

2π

2

=π…（7分）
（Ⅱ）因为-

π

4

≤x≤

π

6

，所以-

π

6

≤2x+

π

3

≤

2π

3

…（9分）
所以-

1

2

≤sin(2x+

π

3

)≤1，所以-1≤f（x）≤2，当2x+

π

3

=-

π

6

，即x=-

π

4

时，f（x）_min=-1，
当2x+

π

3

=

π

2

，即x=

π

12

时，f（x）_min=2，…（14分）

点评：本题考查两角和的正弦与余弦，考查三角恒等变换的应用，化简f（x）=2sin（2x+

π

3

）是关键，着重考查正弦函数的单调性与闭区间上的最值，属于中档题．