Question

【题目】设等差数列{an}的前n项和为Sn ， 且S4=4S2 ， a2+a4=10．
（1）求数列{an}通项公式；
（2）若数列{bn}满足 + +…+ =1﹣ ，n∈N* ， 求数列{bn}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：设等差数列{an}的公差为d，

∵a2+a4=10，

∴a3= =5，

∵S4=4S2，

∴4a3﹣2d=4（2a3﹣3d），

即20﹣2d=4（10﹣3d），解得：d=2，

∴an=a3+2（n﹣3）=2n﹣1；

（2）解：依题意， + +…+ =1﹣ ，n∈N*，

当n≥2时， + +…+ =1﹣ ，

两式相减得： =（1﹣ ）﹣（1﹣ ）= ，

由（1）可知bn= （n≥2），

又∵b1=（1﹣ ）a1= 满足上式，

∴bn= ，n∈N*，

故Tn= + +…+ ，

Tn= + +…+ + ，

两式相减得： Tn= +（ + +…+ ）﹣

= ﹣ ﹣ ，

∴Tn=3﹣ ．

【解析】（1）通过设等差数列{an}的公差为d，利用等差中项及a2+a4=10可知a3=5，通过S4=4S2可知4a3﹣2d=4（2a3﹣3d），计算可得d=2，进而计算即得结论；（2）通过 + +…+ =1﹣ 与 + +…+ =1﹣ 作差，结合（1）整理可知bn= （n≥2），验证当n=1时也成立，进而利用错位相减法计算即得结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系，以及对数列的通项公式的理解，了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．