Question

7．求满足下列条件的双曲线的标准方程：
（1）与双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1共渐近线，且过点（-3，4$\sqrt{3}$）
（2）与双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{7}$=1有相同的焦点，且过点（2$\sqrt{3}$，2）

Answer 1

分析 （1）可设所求双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=λ（λ≠0），代入点的坐标，解方程即可得到所求；
（2）设所求双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，由题意可得a²+b²=16，代入点的坐标，解方程即可得到所求．

解答 解：（1）双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1共渐近线，
可设所求双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=λ（λ≠0），
代入点（-3，4$\sqrt{3}$），可得λ=1-$\frac{48}{16}$=-2，
即有双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{32}$-$\frac{{x}^{2}}{18}$=1；
（2）双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{7}$=1的焦点为（±4，0），
设所求双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
则a²+b²=16，
又$\frac{12}{{a}^{2}}$-$\frac{4}{{b}^{2}}$=1，
解得a=b=2$\sqrt{2}$，
即有双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}$-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查方程的求法，注意渐近线方程的运用，以及共渐近线方程的双曲线方程的设法，属于中档题．