Question

1．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}|lg（-x）|，x＜0\\{x^3}-6x+4，x≥0\end{array}\right.$若关于x的函数y=[f（x）]²-bf（x）+1有8个不同的零点，则实数b的取值范围为（　　）

• A． （2，8）
• B． $[2，\frac{17}{4}）$
• C． $（2，\frac{17}{4}]$
• D． （2，8]

Answer 1

分析 方程f²（x）-bf（x）+1=0有8个不同实数解，即要求对应于f（x）等于某个常数k，有2个不同的k，再根据函数对应法则，每一个常数可以找到4个x与之对应，就出现了8个不同实数解故先根据题意作出f（x）的简图：由图可知，只有满足条件的k在开区间（0，4]时符合题意．再根据一元二次方程根的分布的理论可以得出答案．

解答 解：∵函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}|lg（-x）|，x＜0\\{x^3}-6x+4，x≥0\end{array}\right.$作出f（x）的简图，如图所示：
由图象可得当f（x）在（0，4]上任意取一个值时，都有四个不同的x与f（x）的值对应．
再结合题中函数y=f²（x）-bf（x）+1 有8个不同的零点，
可得关于k的方程 k² -bk+1=0有两个不同的实数根k₁、k₂，且0＜k₁≤4，0＜k₂≤4．
∴应有$\left\{\begin{array}{l}{△={b}^{2}-4＞0}\\{0＜\frac{b}{2}＜4}\\{0-b×0+1＞0}\\{16-4b+1≥0}\end{array}\right.$，解得 2＜b≤$\frac{17}{4}$，
故选：C．

点评 本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识，采用数形结合的方法解决，使本题变得易于理解．数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷，属于中档题．