已知函数且的图象经过点.
(1)求函数的解析式;
(2)设,用函数单调性的定义证明:函数在区间上单调递减;
(3)解不等式:.
(1),(2)详见解析,(3)或.
解析试题分析:(1)求函数的解析式,只需确定的值即可,由函数且的图象经过点,得,再由得,(2)用函数单调性的定义证明单调性,一设上的任意两个值,二作差,三因式分解确定符号,(3)解不等式,一可代入解析式,转化为解对数不等式,需注意不等号方向及真数大于零隐含条件,二利用函数单调性,去“”,注意定义域.
试题解析:(1),解得: ∵ 且∴; 3分
(2)设、为上的任意两个值,且,则
6分
,在区间上单调递减. 8分
(3)方法(一):
由,解得:,即函数的定义域为; 10分
先研究函数在上的单调性.
可运用函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减,证明过程略.
或设、为上的任意两个值,且,
由(2)得: ,即
在区间上单调递减. 12分
再利用函数的单调性解不等式:
且在上为单调减函数., 13分
即,解得:
. 15分
方法(二): 10分
由得:或;由得:, 13分
. 15分
考点:函数解析式,函数单调性定义,解不等式.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数f(x)=ex-e-x(x∈R且e为自然对数的底数).
(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性;
(2)是否存在实数t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x都成立?若存在,求出t;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知,函数.
(1)当时,画出函数的大致图像;
(2)当时,根据图像写出函数的单调减区间,并用定义证明你的结论;
(3)试讨论关于x的方程解的个数.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数过点.
(1)求实数;
(2)将函数的图像向下平移1个单位,再向右平移个单位后得到函数图像,设函数关于轴对称的函数为,试求的解析式;
(3)对于定义在上的函数,若在其定义域内,不等式恒成立,求实数的取值范围.
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