Question

2．已知函数f（x）=Asin（ωx+$\frac{π}{4}$）（A＞0，ω＞0），g（x）=tanx，它们的最小正周期之积为2π²，f（x）的最大值为2g（$\frac{17π}{4}$）
（1）求f（x）的单调递增区间
（2）设h（x）=$\frac{3}{2}$f²（x）+2$\sqrt{3}$cos²x，当x∈[a，$\frac{π}{3}$]时，h（x）有最小值为3，求a的值．

Answer 1

分析 （1）首先，根据已知条件，建立周期关系式，得到相应的ω和A的值；
（2）结合（1），利用降幂公式和辅助角公式，化简函数解析式，然后，根据正弦函数的单调性确定a的值．

解答 解：（1）∵g（x）=tanx的周期为π，
∵它们的最小正周期之积为2π²，
∴函数f（x）=Asin（ωx+$\frac{π}{4}$）的周期为2π，
∴$\frac{2π}{ω}$=2π，∴ω=1，
∵2g（$\frac{17π}{4}$）=2tan（4π+$\frac{π}{4}$）=2tan$\frac{π}{4}$=2，
∴f（x）的最大值为2，
∴A=2，
∴函数f（x）=2sin（x+$\frac{π}{4}$），
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴-$\frac{3π}{4}$+2kπ≤x≤$\frac{π}{4}$+2kπ，
∴f（x）的单调递增区间：[-$\frac{3π}{4}$+2kπ，$\frac{π}{4}$+2kπ]，（k∈Z），
（2）结合（1），得
h（x）=$\frac{3}{2}$×4×sin²（x+$\frac{π}{4}$）+2$\sqrt{3}$cos²x，
=6×$\frac{1-cos（2x+\frac{π}{2}）}{2}$+2$\sqrt{3}$×$\frac{1+cos2x}{2}$，
=3（1+sin2x）+$\sqrt{3}$cos2x+$\sqrt{3}$，
=3sin2x+$\sqrt{3}$cos2x+3+$\sqrt{3}$，
=2$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+3+$\sqrt{3}$，
∵x∈[a，$\frac{π}{3}$]，h（x）有最小值为3，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{2}$，
∴x=kπ-$\frac{π}{6}$，
∵当-$\frac{π}{3}$≤x≤$\frac{π}{6}$时，h（x）为单调递增，
当$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{2π}{3}$时，h（x）为单调递减，
∴h（x）在x=-$\frac{π}{6}$时，有最小值3，
∴a=-$\frac{π}{6}$．

点评 本题重点考查了三角函数的周期性和单调性、三角函数的最值、辅助角公式等知识，属于中档题．