Question

两个数列{a_n}和{b_n}满足

b_n=(n∈N₊),

(1)若数列{b_n}是等差数列，求证：{a_n}也是等差数列；

（2）试问（1）的逆命题能否成立？若能成立，给出证明；若不成立，说明理由.

Answer 1

分析：由已知得a₁+2a₂+…+na_n=n(n+1)·b_n，       ①

那么a₁+2a₂+…+(n-1)a_n-1=(n-1)n·b_n-1(n≥2)，        ②

①-②并整理得a_n=(n+1)b_n-(n-1)b_n-1.

(1)证明：设{b_n}的公差为d，由已知得a₁=b₁,

∴a_n=(n+1)［a₁+(n-1)d］-(n-1)［a₁+(n-2)d］=a₁+(n-1)·.

∴数列{a_n}是首项为a₁，公差为的等差数列.

(2)证明：假设数列{b_n}是等差数列，其公差为d,

由已知a₁=b₁,?故b_n=a₁+(n-1)d.

∵{a_n}是等差数列，设其公差为d′，

且a_n=a₁+(n-1)d′，

∴a₁+(n-1)d′=(n+1)［a₁+(n-1)d］-(n-1)［a₁+(n-2)d］=a₁+(n-1)·.

∵上式对任何n∈N₊都成立,

∴d′=,d=d′,

也就是说存在d使b_n=a₁+(n-1)d成立，数列{b_n}可以是等差数列，因此（1）的逆命题能成立.