Question

已知函数f(x)=

a(x-1)2+1

bx+c-b

（a、b、c∈N）的图象按向量

e

=(-1，0)平移后得到的图象关于原点对称，且f（2）=2，f（3）＜3．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）设x是正实数，求证：[f（x+1）]ⁿ-f（xⁿ+1）≥2ⁿ-2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用平移规律，可得f(x+1)=

ax2+1

bx+c

，根据函数f（x）的图象平移后得到的图象关于原点对称，可得f（-x+1）=-f（x+1），从而可求c的值，根据f（2）=2，f（3）＜3，a、b∈N，可得a，b的值；
（Ⅱ）当n≥2时，利用二项展开式，再进行放缩，即可证得结论．

解答：（Ⅰ）解：函数f（x）的图象按

e

=(-1，0)平移后得到的图象所对应的函数式为f(x+1)=

ax2+1

bx+c

．
∵函数f（x）的图象平移后得到的图象关于原点对称，
∴f（-x+1）=-f（x+1），即

a(-x)2+1

b(-x)+c

=-

ax2+1

bx+c

．
∵a∈N，∴ax²+1＞0．∴-bx+c=-bx-c，∴c=0．
又∵f（2）=2，∴

a+1

c+b

=2．∴a+1=2b，∴a=2b-1．    ①
又f(3)=

4a+1

2b

＜3．∴4a+1＜6b．    ②
由①，②及a、b∈N，得a=1，b=1．
（Ⅱ）证明：n=1时，结论显然成立．
当n≥2时，[f(x+1)]n-f(xn+1)=(x+

1

x

)n-(xn+

1

xn

)
=

C

1 n

xn-1•

1

x

+

C

2 n

xn-2•

1

x2

+…+

C

n-2 n

x2•

1

xn-2

+

C

n-1 n

x•

1

xn-1

=

C

1 n

xn-2+

C

2 n

xn-4+…+

C

n-2 n

1

xn-4

+

C

n-1 n

x•

1

xn-2

=

1

2

[

C

1 n

(xn-2+

1

xn-2

)+

C

2 n

(xn-4+

1

xn-4

)+…+

C

n-1 n

(

1

xn-2

+xn-2)≥

1

2

[2•(

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n-1 n

)]=

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n-1 n

=2n-2．

点评：本题考查函数解析式的确定，考查不等式的证明，考查函数的性质，同时考查二项式定理的运用，属于中档题．