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    Monte-Carlo方法在解决数学问题中有广泛的应用．下面是利用Monte-Carlo方法来计算定积分．考虑定积分
    ∫
    1
    0
    x4dx，这时
    ∫
    1
    0
    x4dx等于由曲线y=x4，x轴，x=1所围成的区域M的面积，为求它的值，我们在M外作一个边长为1正方形OABC．设想在正方形OABC内随机投掷n个点，若n个点中有m个点落入M中，则M的面积的估计值为
    m
    n
    ，此即为定积分
    ∫
    1
    0
    x4dx的估计值I．向正方形ABCD中随机投掷10000个点，有ξ个点落入区域M
    （1）若ξ=2099，计算I的值，并以实际值比较误差是否在5%以内
    （2）求ξ的数学期望
    （3）用以上方法求定积分，求I与实际值之差在区间（-0.01，0.01）的概率
    附表：p（n）=
    n
    i=0
    C
     
    k
    10000
    ×0.2k×0.810000-k
    n189919001901209921002101
    P（n）0.00580.00620.00670.99330.99380.9942
    考点：离散型随机变量的期望与方差,独立性检验
    专题：概率与统计
    分析：（1）若ξ=2099，则I=
    2099
    10000
    =0.2099    ，由此利用定积分能求出估计值与实际值的误差在5%以内．
    （2）由题意，每一次试验能够落入区域M中的概率为0.2，投掷10000个点有ξ个点落入区域M内，则ξ～B（10000，0.2），由此能求出ξ的数学期望．
    （3）I与实际值之差在区间（-0.01，0.01）的概率为P（|
    ξ
    10000
    -0.2    |＜0.01），由此能求出结果．
    解答： 解：（1）若ξ=2099，则I=
    2099
    10000
    =0.2099    ，
    而
    ∫
    1
    0
    x4dx    =
    1
    5
    x5
    |
    1
    0
    =0.2，…（2分）
    ∴估计值与实际值的误差为：
    |0.2099-0.2|
    0.2
    ×100%=4.95%    ，
    即估计值与实际值的误差在5%以内．…（4分）
    （2）由题意，每一次试验能够落入区域M中的概率为0.2，
    投掷10000个点有ξ个点落入区域M内，则ξ～B（10000，0.2），…（7分）
    ∴Eξ=10000×0.2=2000．…（9分）
    （3）I与实际值之差在区间（-0.01，0.01）的概率为
    P（|
    ξ
    10000
    -0.2    |＜0.01）
    =P（1900＜ξ＜2100）
    =
    2100
    k=1901
    C
    k
    10000
    •0．2k•0．810000-k
    =P（2099）-P（1900）=0.9871．…（14分）
    点评：本题考查I的值的计算，考查实际值比较误差是否在5%以内的判断，考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查概率的求法，是中档题．
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    1
    2
    ，0)    ，直线n：x=
    1
    2
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    D、（1，1）

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    π
    2
    ，π)，sinα=
    		5
    5
    ，则sin(
    π
    4
    +α)    的值为
     
    ．

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    ．

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