Question

某长方体截去一个三棱锥后，形成的几何体的平面展开图的一部分如图1所示．
（Ⅰ）请在图2上补画出该几何体的直观图，并求出被截去的三棱锥的体积；
（Ⅱ）在该几何体的直观图中连结CD′，求证：CD′⊥AF；
（Ⅲ）在该几何体中求平面AFG与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）画出几何体的直观图，被截去的三棱锥的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，高为2，由此能求出其体积．
（Ⅱ）分别以DA、DC、DD′为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明CD′⊥AF．
（Ⅲ）求出平面AFG的一个法向量和平面ABCD的一个法向量，利用向量法能求出平面AFG与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值．

解答： （Ⅰ）解：画出几何体的直观图如1，
被截去的三棱锥的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，高为2，
其体积V=

1

3

×

1

2

×1×1×2=

1

3

．…5分
（Ⅱ）证明：如图2，分别以DA、DC、DD′为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则C（0，4，0），D′（0，0，2），A（2，0，0），F（2，1，2），…7分
∴

AF

=（0，1，2），

CD′

=（0，-4，2），
∵

AF

•

CD′

=0-4+4=0，
∴CD′⊥AF．
（Ⅲ）解：设

n

=（x，y，z）是平面AFG的一个法向量，
G（1，0，2），

AG

=（-1，0，2），
则

n • AF =y+2z=0 n • AG =-x+2z=0

，
取z=1，得

n

=（2，-2，1），…11分
由题意知平面ABCD的一个法向量为

m

=（0，0，1）…12分
设平面AFG与平面ABCD所成的锐二面角的平面角为θ，
cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=|

1

3

|=

1

3

，…13分
即平面AFG与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为

1

3

．…14分

点评：本题考查几何体的直观图的画法，考查几何体的体积的求法，考查两直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．