Question

已知B（-2，0），C（2，0）是△ABC的两个顶点，且满足|sinB-sinC|=

1

2

sinA．
（Ⅰ）求顶点A的轨迹方程；
（Ⅱ）过点C作倾斜角为

π

4

的直线交点A的轨迹于E、F两点，求|EF|．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由于满足|sinB-sinC|=

1

2

sinA．利用正弦定理得，|b-c|=

1

2

a．再利用双曲线的定义即可得出．
（II）过C（2，0）倾斜角为

π

4

的直线为y=x-2，与双曲线的定义联立可得根与系数的关系，利用弦长公式即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）∵满足|sinB-sinC|=

1

2

sinA．
由正弦定理得，|b-c|=

1

2

a．
∵B（-2，0），C（2，0）
∴a=4．
∴|b-c|=

1

2

a=2＜BC，
∴A点的轨迹是双曲线，
方程为x2-

y2

3

=1（y≠0）．
（Ⅱ）设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）．
过C（2，0）倾斜角为

π

4

的直线为y=x-2，
则

y=x-2 x2- y2 3 =1(y≠0)

，消去y得，2x²+4x-7=0，
∴x₁+x₂=-2，x1x2=-

7

2

．
∴|EF|=

2[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2×[22-4×(- 7 2 )]

=6．

点评：本题考查了正弦定理、双曲线的定义及其标准方程、直线与双曲线相交问题转化为方程联立根与系数的关系、用弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．