Question

已知数列{a_n}，其满足条件a₁=

5

3

，3a_n+1-2a_n=2n+5，
（1）求证：数列{a_n-2n+1}为等比数列；
（2）已知S_n为数列{a_n}的前n项和，对一切n∈N^*，有不等式S_n≥log₂m+1恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据3a_n+1-2a_n=2n+5化简得a_n+1=

2

3

an+

2

3

n+

5

3

，代入

an+1-2(n+1)+1

an-2n+1

化简，并求出所证数列的首项，根据等比数列的定义可证明结论；
（2）由（1）和等比数列的通项公式化简求出a_n，将数列看成由一个等差数列和一个等比数列的和，利用分组求和法和等比、等差数列的前n项和公式求出S_n的表达式，利用对应的单调性求出S_n的最小值，根据恒成立列出不等式，由对数函数的性质实数m的取值范围．

解答： 证明：（1）由题意得，3a_n+1-2a_n=2n+5，则a_n+1=

2

3

an+

2

3

n+

5

3

，
所以

an+1-2(n+1)+1

an-2n+1

=

2 3 an+ 2 3 n+ 5 3 -2n-1

an-2n+1

=

2 3 an- 4 3 n+ 2 3

an-2n+1

=

2

3

，
又a₁=

5

3

，所以a₁-2+1=

2

3

，
所以数列{a_n-2n+1}以

2

3

为首项、公比的等比数列；（6分）
解：（2）由（1）知，a_n-2n+1=(

2

3

)n，所以a_n=(

2

3

)n+2n-1，
则数列{a_n}的前n项和S_n=

2

3

+(

2

3

)2+…+(

2

3

)n+[1+3+…+(2n-1)]
=

2 3 [1-( 2 3 )n]

1- 2 3

+

n(1+2n-1)

2

=2[1-(

2

3

)n]+n2，
所以S_n随着n的增大而增大，当n=1时，S_n取到最小值

5

3

，
因为对一切n∈N^*，有不等式S_n≥log₂m+1恒成立，
所以

5

3

≥log₂m+1，则log₂m≤

2

3

=

log

2 2 3 2

，
即0＜m≤2

2

3

=

3	4

，
所以实数m的取值范围是（0，

3	4

]．

点评：本题考查递推公式的应用，等比数列的判定方法、通项公式，等比、等差数列的前n项和公式，对数函数的性质，以及利用分组求和法，利用数列的函数特性解决恒成立问题，同时考查了运算求解的能力，综合性很强．