Question

已知函数f（x）=e^x（x²+ax-a+1），其中a是常数．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若f（x）在定义域内是单调递增函数，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出导数，求出切点和切线的斜率，由点斜式方程，即可得到切线方程；
（2）由（1）求得的导数，若f（x）是单调递增函数，则f′（x）≥0恒成立，运用判别式不大于0，即可得到；

解答： 解：（1）由f（x）=e^x（x²+ax-a+1）可得f′（x）=e^x[x²+（a+2）x+1]．
当a=1时，f（1）=2e，f′（1）=5e
故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-2e=5e（x-1），
即5ex-y-3e=0；
（2）由（1）知f′（x）=e^x[x²+（a+2）x+1]，
若f（x）是单调递增函数，则f′（x）≥0恒成立，
即x²+（a+2）x+1≥0恒成立，
∴△=（a+2）²-4≤0，-4≤a≤0，
故a的取值范围为[-4，0]．

点评：本题主要考查导数的几何意义以及函数单调性和导数之间的关系，综合考查导数的应用．