Question

若对?x∈[-1，1]，不等式x²+mx+3m＞0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：通过y=x²+mx+3m，判断开口方向，求出函数的对称轴，利用二次函数的最值求解即可．

解答： 解：∵y=x²+mx+3m，x∈[-1，1]，y＞0恒成立．函数的对称轴为x=-

m

2

，开口向上，
①当-

m

2

＜-1，即m＞2时，只需f（-1）＞0即可，
可得

m＞2 1-m+3m＞0

，解得m＞2．
②当-

m

2

＞1，即m＜-2时，只需f（1）＞0即可，
可得

m＜-2 1+m+3m＞0

，解得m∈∅．
③当-1≤-

m

2

≤1，即-2≤m≤2时，只需f（-

m

2

）＞0即可，
可得

-2≤m≤2 m2 4 - m2 2 +3m＞0

，解得0＜m≤2．
综上实数m的取值范围：（0，+∞）．

点评：本题主要考查了函数恒成立问题的求解，分类讨论以及转化思想的应用，二次函数闭区间是的最值以及单调性的应用．