Question

已知点F(-

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，0)，直线n：x=

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，动点P到点F的距离等于它到直线l的距离．
（Ⅰ）试判断动点P的轨迹C的形状，并求出其标准方程；
（Ⅱ）若过A（0，2）的直线n与轨迹C有且只有一个公共点，求直线n的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（I）利用抛物线的定义即可得出；
（II）对直线n的斜率分类讨论，当直线l的斜率存在且不为0时，把直线l的方程与抛物线的联立，利用△=0解出即可．

解答： 解：（I）由已知得动点P的轨迹为以点F(

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，0)为焦点，以直线l：x=

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为准线的抛物线，
∴点P的轨迹方程是y²=-2x．
（II）①当直线n的斜率不存在时，直线n的方程为x=0，直线l与抛物线y²=-2x切于点（0，0）．
②当直线n斜率存在时，设直线n的斜率为k，直线n方程为y=kx+2，
代入y²=-2x得：k²x²+2（2k+1）x+4=0． 
当k=0时，直线n的方程为y=2，n的方程与抛物线y²=-2x有且只有一个公共点（-2，2）．
当k≠0时，由△=0得k=-

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，则直线n的方程：x+4y-8=0．
综上所述：所求直线n的方程为x=0和y=2及x+4y-8=0．

点评：本题考查了抛物线的定义标准方程、直线与抛物线方程联立转化为方程联立与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．