Question

已知函数f（x）=x³+ax²-9x+b的图象过点P（0，2），且f′（1）=0．
（1）求函数y=f（x）的解析式；     
（2）求函数y=f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）函数过P点，把P坐标代入到f（x）中得到b的值，又因为函数在x=1处的导数为0得到（1，0）在导函数上，求出导函数代入求出a即可；
（2）要求函数的单调区间令导函数大于或小于0，解出相应的不等式，即可判断函数的单调区间即可．

解答：解：（1）由函数的图象经过点（0，2）可知，b=2，…（2分）
又f'（x）=3x²+2ax-9，…（4分）
且f′（1）=0得a=3…（6分）
∴f（x）=x³+3x²-9x+2…（7分）
（2）f′（x）=3x²+6x-9=3（x²+2x-3）=3（x+3）（x-1）
令f′（x）＞0，则3（x+3）（x-1）＞0，解得x＜-3或x＞1…（9分）
令f′（x）＜0，则3（x+3）（x-1）＜0，解得-3＜x＜1…（11分）
∴函数y=f（x）的单调递增区间为（-∞，-3）和（1，+∞）
函数y=f（x）的单调递减区间为（-3，1）…（12分）

点评：此题考查学生利用待定系数的方法求函数解析式的运用能力，利用导数研究函数的单调性的能力，属于中档题．