Question

设函数f（x）=

a

•

b

，其中向量

a

=（cos2x+1，1），

b

=（1，

3

sin2x+m）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）当x∈[0，

π

6

]时，-4＜f（x）＜4恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）利用平面向量数量积的运算表示出f（x）的解析式，然后根据两角和公式对其化简，利用三角函数的周期公式求得函数的最小正周期．
（2）利用x的范围可求得2x+

π

6

的范围，进而求得函数f（x）的范围，根据-4＜f（x）＜4恒成立求得m的范围．

解答： 解：（1）f（x）=

a

•

b

=cos2x+1+

3

sin2x+m=2sin（2x+

π

6

）+m+1，
∴T=

2π

2

=π．
（2）∵当x∈[0，

π

6

]时，

π

6

≤2x+

π

6

≤

2π

3

，
∴

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，
∴2+m≤2sin（2x+

π

6

）+m+1≤3+m，
∴要使-4＜f（x）＜4恒成立，需

3+m＜4 2+m＞-4

，
解得-6＜m＜1．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，平面向量数量积的运算，三角函数图象和性质，不等式相关知识．注重了对学生基础知识和推理能力的考查．