Question

6．在公差为d的等差数列{a_n}中，已知a₁=10，5a₁a₃=（2a₂+2）²．
（Ⅰ）求d和a_n的值；           
（Ⅱ）若d＜0，求|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a₂₀₂₁|的值．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列的通项公式列出方程解出公差，代入通项公式即可；
（II）利用通项公式判断{a_n}的非负项项数，使用求和公式计算．

解答 解：（I）∵a₁=10，5a₁a₃=（2a₂+2）²，
∴50（10+2d）=4（10+d+1）²，
即d²-3d-4=0，解得d=-1或d=4．
故a_n=-n+11或a_n=4n+6．
（II）由题知d=-1，a_n=-n+11，则当n≤11时，a_n≥0，
当n＞11时，a_n＜0，
则|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a₂₀₂₁|=（a₁+…+a₁₁）-（a₁₂+…+a₂₀₂₁）
=2（a₁+…+a₁₁）-（a₁+a₂…+a₂₀₂₁）
=2×$\frac{10+0}{2}×11$-$\frac{10-2010}{2}×2021$
=2021110．

点评 本题考查了等差数列的性质，等差数列的前n项和，属于中档题．