Question

17．已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=3f（x+2），当x∈[0，2）时，f（x）=-x²+2x．设f（x）在[2n-2，2n）上的最大值为a_n（n∈N^*），且{a_n}的前n项和为S_n，则S_n的取值范围是（　　）

• A． [1，$\frac{3}{2}$）
• B． [1，$\frac{3}{2}$]
• C． [$\frac{3}{2}$，2）
• D． [$\frac{3}{2}$，2]

Answer 1

分析 通过函数f（x）满足f（x）=3f（x+2）可知函数向右平移2个单位时最大值变为原来的$\frac{1}{3}$，进而可知数列{a_n}是首项为1、公比为$\frac{1}{3}$的等比数列，计算即得结论．

解答 解：：∵函数f（x）满足f（x）=3f（x+2），
∴f（x+2）=$\frac{1}{3}$f（x），即函数向右平移2个单位，最大值变为原来的$\frac{1}{3}$，
又∵当x∈[0，2）时，f（x）=-x²+2x，
∴a₁=f（1）=1，
∴数列{a_n}是首项为1、公比为$\frac{1}{3}$的等比数列，
∴S_n=$\frac{1-（\frac{1}{3}）^{n}}{1-\frac{1}{3}}$∈$[1，\frac{3}{2}）$．
故选：A．

点评 本题考查了函数图象变换、等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．