Question

8．在多面体ABCDEFG中，四边形ABCD与CDEF均为边长为4的正方形，CF⊥平面ABCD，BG⊥平面ABCD，且AB=2BG=4BH．
（1）求证：GH⊥平面EFG；
（2）求三棱锥G-ADE的体积．

Answer 1

分析 （I）利用勾股定理证明GH⊥FG，由EF⊥平面BCFG得EF⊥GH，故而得出GH⊥平面EFG；
（II）先证明AB⊥平面ADE，再由公式V_G-ADE=V_B-ADE=$\frac{1}{3}{S}_{△ADE}•AB$计算棱锥的体积．

解答 证明：（I）连结FH，
∵CD⊥CF，CD⊥BC，∴CD⊥平面BCFG，
又GH?平面BCFG，
∴CD⊥GH，又CD∥EF，
∴EF⊥GH，
∵AB=4，∴BH=1，BG=2，CF=4，CH=3，
∴GH=$\sqrt{5}$，FG=2$\sqrt{5}$，FH=5，
∴GH²+FG²=FH²，∴GH⊥FG．
又EF?平面EFG，FG?平面EFG，EF∩FG=F，
∴GH⊥平面EFG．
（2）∵四边形ABCD与CDEF均为边长为4的正方形，
∴CD⊥DE，CD⊥AD，CD∥AB．
又AD?平面ADE，DE?平面ADE，AD∩DE=D，
∴CD⊥平面ADE，又AB∥CD，
∴AB⊥平面ADE．
∴V_G-ADE=V_B-ADE=$\frac{1}{3}{S}_{△ADE}•AB$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×4×4$=$\frac{32}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．