Question

17．若0＜$\frac{b}{2}$＜a＜b，当a-$\frac{1}{（a-b）（2a-b）}$取最小值时，a+b=（　　）

• A． 4
• B． 5
• C． 6
• D． 7

Answer 1

分析 由题意可得b-a＞0，2a-b＞0，从而化简a-$\frac{1}{（a-b）（2a-b）}$=（2a-b）+（b-a）+$\frac{1}{（b-a）（2a-b）}$，再利用基本不等式化简即可．

解答 解：∵0＜$\frac{b}{2}$＜a＜b，
∴b-a＞0，2a-b＞0；
∴a-$\frac{1}{（a-b）（2a-b）}$=（2a-b）+（b-a）+$\frac{1}{（b-a）（2a-b）}$
≥2$\sqrt{（2a-b）（b-a）}$+$\frac{1}{（b-a）（2a-b）}$
=$\sqrt{（2a-b）（b-a）}$+$\sqrt{（2a-b）（b-a）}$+$\frac{1}{（b-a）（2a-b）}$
≥3；
（当且仅当2a-b=b-a=1时，等号同时成立）；
解得，a=2，b=3；
故a+b=5；
故选B．

点评 本题考查了基本不等式的应用，注意等号是否成立，属于中档题．