Question

在平面直角坐标系中，椭圆为

（1）若一直线与椭圆交于两不同点，且线段恰以点为中点，求直线的方程；

（2）若过点的直线（非轴）与椭圆相交于两个不同点试问在轴上是否存在定点，使恒为定值？若存在，求出点的坐标及实数的值；若不存在，请说明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）在轴上存在定点，使恒为定值。

【解析】本试题主要是考查了直线与圆的位置关系综合运用。

（1）点在椭圆内部，直线与椭圆必有公共点

再利用点差法得到中点坐标与直线斜率的关系式，

（2）假定存在定点，使恒为定值

由于直线不可能为轴

于是可设直线的方程为且设点

将代入得到一元二次方程，进而利用向量的关系得到参数的值。

解：（1）点在椭圆内部，直线与椭圆必有公共点

设点，由已知，则有

两式相减，得

而直线的斜率为

直线的方程为

（2） 假定存在定点，使恒为定值

由于直线不可能为轴

于是可设直线的方程为且设点

将代入得

.

显然

，

则

若存在定点使为定值（与值无关），则必有

在轴上存在定点，使恒为定值