【题目】已知椭圆
(
)的离心率为
,且点
在椭圆
上,设与
平行的直线
与椭圆
相交于
,
两点,直线
,
分别与
轴正半轴交于
,
两点.
(I)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)判断的值是否为定值,并证明你的结论.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)根据椭圆的离心率为
,且点
在椭圆
上,结合性质
,列出关于
、
、
的方程组,求出
、
、
,即可得椭圆
的标准方程;(Ⅱ)由
,设直线
(
)联立方程,
,根据韦达定理及斜率公式先证明
,可得直线
和直线
的斜率和为零,可得
,故
,从而得
在线段
的中垂线上,进而可得.
试题解析:(Ⅰ)由题意,
解得: ,
,
故椭圆的标准方程为
(Ⅱ)假设直线TP或TQ的斜率不存在,则P点或Q点的坐标为(2,-1),直线l的方程为,即
.
联立方程,得
,
此时,直线l与椭圆C相切,不合题意.
故直线TP和TQ的斜率存在.
方法1:
设,
,则
直线,,
直线
故,
,
由直线,设直线
(
),
联立方程, ,
当时,
,
,
.
方法2:
设,
,直线
和
的斜率分别为
和
,
由,设直线
(
),
联立方程, ,
当时,
,
,
,
故直线和直线
的斜率和为零,
故,
故,
故在线段
的中垂线上,即
的中点横坐标为2
故.
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【题目】已知向量且函数
,若函数f(x)的图象上两个相邻的对称轴距离为
.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)将函数y=f(x)的图象向左平移个单位后,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)的表达式并其对称轴;
(3)若方程f(x)=m(m>0)在时,有两个不同实数根x1,x2,求实数m的取值范围,并求出x1+x2的值.
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【题目】已知圆和椭圆
,
是椭圆
的左焦点.
(Ⅰ)求椭圆的离心率和点
的坐标;
(Ⅱ)点在椭圆
上,过
作
轴的垂线,交圆
于点
(
不重合),
是过点
的圆
的切线.圆
的圆心为点
,半径长为
.试判断直线
与圆
的位置关系,并证明你的结论.
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【题目】数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养.因为运算,数的威力无限;没有运算,数就只是一个符号.对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.
(1)对数的运算性质降低了运算的级别,简化了运算,在数学发展史上是伟大的成就.对数运算性质的推导有很多方法.请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质:如果,且
,
,那么
;
(2)请你运用上述对数运算性质计算的值;
(3)因为,所以
的位数为4(一个自然数数位的个数,叫做位数).请你运用所学过的对数运算的知识,判断
的位数.(注
)
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【题目】食品安全问题越来越引起人们的重视,农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来了一定的危害.为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村合作社每年投入资金万元,搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入资金
万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜.根据以往的种菜经验,发现种西红柿的年收入
、种黄瓜的年收入
与各自的资金投入
(单位:万元)满足
,
.设甲大棚的资金投入为
(单位:万元),每年两个大棚的总收入为
(单位:万元).
(1)求的值;
(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的资金投入,才能使总收入最大.
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【题目】下列说法的错误的是( )
A. 经过定点的倾斜角不为
的直线的方程都可以表示为
B. 经过定点的倾斜角不为
的直线的方程都可以表示为
C. 不经过原点的直线的方程都可以表示为
D. 经过任意两个不同的点、
直线的方程都可以表示为
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【题目】大连市某企业为确定下一年投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费(单位:千元)对年销售量
(单位:
)和年利润
(单位:千元)的影响,对近8年的年宣传费
和年销售量
数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
46.6 | 573 | 6.8 | 289.8 | 1.6 | 215083.4 | 31280 |
表中,
.
根据散点图判断,
与
哪一个适宜作为年销售量
关于年宣传费
的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)
根据
的判断结果及表中数据,建立
关于
的回归方程;
已知这种产品的年利润
与
、
的关系为
.根据
的结果回答下列问题:
年宣传费
时,年销售量及年利润的预报值是多少?
年宣传费
为何值时,年利润的预报值最大?
附:对于一组数据,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为:
,
.
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