Question

【题目】已知椭圆 （）的离心率为，且点在椭圆上，设与平行的直线与椭圆相交于， 两点，直线， 分别与轴正半轴交于， 两点．

(I)求椭圆的标准方程；

(Ⅱ)判断的值是否为定值，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的离心率为，且点在椭圆上，结合性质 ，列出关于 、 、的方程组，求出 、 、，即可得椭圆的标准方程；（Ⅱ）由，设直线（）联立方程， ，根据韦达定理及斜率公式先证明 ，可得直线和直线的斜率和为零，可得，故，从而得在线段的中垂线上，进而可得.

试题解析：（Ⅰ）由题意，

解得： ， ，

故椭圆的标准方程为

（Ⅱ）假设直线TP或TQ的斜率不存在，则P点或Q点的坐标为(2，－1)，直线l的方程为，即.

联立方程，得，

此时，直线l与椭圆C相切，不合题意.

故直线TP和TQ的斜率存在.

方法1：

设， ，则

直线，，

直线

故， ，

由直线，设直线（），

联立方程， ，

当时， ， ，

.

方法2：

设， ，直线和的斜率分别为和,

由，设直线（）,

联立方程， ,

当时， ， ,

,

故直线和直线的斜率和为零,

故,

故,

故在线段的中垂线上，即的中点横坐标为2

故.