Question

18．已知函数f（x）=x²-1，g（x）=a|x-1|．
（Ⅰ）若关于x的方程|f（x）|=g（x）只有一个实数解，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若当x∈R时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若a＜0，求函数h（x）=f（x）+g（x）在[-2，2]上的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若关于x的方程|f（x）|=g（x）只有一个实数解?方程|f（x）|=g（x）只有一个实数解，从而可求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若当x∈R时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，即x²-1≥a|x-1|恒成立，分x=1、x＞1与x＜1三类讨论，即可求得实数a的取值范围；
（Ⅲ）若a＜0，函数h（x）=f（x）+g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+ax-a-1，1≤x≤2}\\{{x}^{2}-ax+a-1，-2≤x＜1}\end{array}\right.$，通过对函数的对称轴位置的讨论，利用二次函数的单调性即可求得其在[-2，2]上的最大值．

解答 （12分）
解：（Ⅰ）∵f（x）=x²-1，g（x）=a|x-1|，方程|f（x）|=g（x）只有一个实数解，
∴|x²-1|=a|x-1|，∴|x-1|（|x+1|-a）=0只有一个实数解，∴a＜0…3分
（Ⅱ）当x∈R时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，即x²-1≥a|x-1|恒成立，
①当x=1时，a∈R；
②当x＞1时，x+1≥a恒成立，∴a≤2；
③当x＜1时，x²-1≥-a（x-1），∴x+1≤-a，∴-a≥2，∴a≤-2，
综上可得a≤-2…7分
（Ⅲ）若a＜0，函数h（x）=f（x）+g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+ax-a-1，1≤x≤2}\\{{x}^{2}-ax+a-1，-2≤x＜1}\end{array}\right.$，
当-$\frac{1}{2}$a≥$\frac{3}{2}$，即a≤-3时，$\frac{a}{2}$≤-$\frac{3}{2}$，h（x）_max=h（1）=0；
当-$\frac{1}{2}$≤-$\frac{a}{2}$＜$\frac{3}{2}$，即-3＜a≤-1时，h（x）_max=h（2）=3+a；
当0＜-$\frac{a}{2}$＜＜$\frac{1}{2}$，即-1＜a＜0时，h（2）=3+a，h（-2）=3+3a＜3+a=h（2），
h（x）_max=h（2）=3+a…10分
综上所述，h（x）_max=$\left\{\begin{array}{l}{0，a≤-3}\\{3+a，-3＜a＜0}\end{array}\right.$…12分

点评 本题考查函数恒成立问题，突出考查分类讨论思想与等价转化思想，考查推理运算能力，属于难题．