Question

15．任意实数a、b，定义a?b=$\left\{\begin{array}{l}{ab}&{ab≥0}\\{\frac{a}{b}}&{ab＜0}\end{array}\right.$，设函数f（x）=（log₂x）?x，数列{a_n}是公比大于0的等比数列，且a₆=1．f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₉）+f（a₁₀）=2a₁，则a₁=4．

Answer 1

分析 f（x）=（log₂x）?x=$\left\{\begin{array}{l}{xlo{g}_{2}x，x≥1}\\{\frac{lo{g}_{2}x}{x}，0＜x＜1}\end{array}\right.$，及其数列{a_n}是公比大于0的等比数列，且a₆=1，对公比q分类讨论，再利用对数的运算性质即可得出．

解答 解：∵f（x）=（log₂x）?x=$\left\{\begin{array}{l}{xlo{g}_{2}x，x≥1}\\{\frac{lo{g}_{2}x}{x}，0＜x＜1}\end{array}\right.$，
∵数列{a_n}是公比大于0的等比数列，且a₆=1，
①1＜q时，a₁，a₂，…，a₅∈（0，1），a₇，a₈，a₉，a₁₀∈[1，+∞），${a}_{1}{q}^{5}$=1．
∴${a}_{1}=\frac{1}{{q}^{5}}$，
分别为：$\frac{1}{{q}^{5}}$，$\frac{1}{{q}^{4}}$，…，$\frac{1}{q}$，1，q，…，q⁴．
∵f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₉）+f（a₁₀）=2a₁，
∴$\frac{lo{g}_{2}{a}_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{lo{g}_{2}{a}_{2}}{{a}_{2}}$+…+$\frac{lo{g}_{2}{a}_{5}}{{a}_{5}}$+0+a₇log₂a₇+…+a₁₀log₂a₁₀=2a₁，
∴${q}^{5}lo{g}_{2}\frac{1}{{q}^{5}}$+q⁴$lo{g}_{2}\frac{1}{{q}^{4}}$+…+$qlo{g}_{2}\frac{1}{q}$+qlog₂q+…+${q}^{4}lo{g}_{2}{q}^{4}$=2×$\frac{1}{{q}^{5}}$．
∴${q}^{5}lo{g}_{2}\frac{1}{{q}^{5}}$=2×$\frac{1}{{q}^{5}}$．左边小于0，右边大于0，不成立，舍去．
②0＜q＜1时，${a}_{1}{q}^{5}$=1，∴${a}_{1}=\frac{1}{{q}^{5}}$，
分别为：$\frac{1}{{q}^{5}}$，$\frac{1}{{q}^{4}}$，…，$\frac{1}{q}$，1，q，…，q⁴，a₁，a₂，…，a₅∈（1，+∞）；a₇，a₈，a₉，a₁₀∈（0，1），
∵f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₉）+f（a₁₀）=2a₁，
∴$\frac{1}{{q}^{5}}lo{g}_{2}\frac{1}{{q}^{5}}$+$\frac{1}{{q}^{4}}$$lo{g}_{2}\frac{1}{{q}^{4}}$+…+$\frac{1}{q}$$lo{g}_{2}\frac{1}{q}$+$\frac{1}{q}$log₂q+…+$\frac{1}{{q}^{4}}lo{g}_{2}{q}^{4}$=2×$\frac{1}{{q}^{5}}$．
∴$\frac{1}{{q}^{5}}lo{g}_{2}\frac{1}{{q}^{5}}$=2×$\frac{1}{{q}^{5}}$．
∴$\frac{1}{{q}^{5}}$=4，
∴a₁=4．
③q=1时，a₁=…=a₆=…=a₁₀=1，不满足f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₉）+f（a₁₀）=2a₁，舍去．
综上可得：a₁=4．
故答案为：4．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其性质、对数的运算性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．