Question

18．已知A，B为圆O：x²+y²=4与y轴的交点（A在B上），过点P（0，4）的直线l交圆O于M，N两点．
（1）若弦MN的长等于$2\sqrt{3}$，求直线l的方程；
（2）若M，N都不与A，B重合时，是否存在定直线m，使得直线AN与BM的交点恒在直线m上．若存在，求出直线m的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）①当k不存在时，利用|MN|=|AB|=4判断；②当k存在时，设直线l：y=kx+4，通过直线与圆的位置关系求出直线的斜率，然后求解直线l方程．
（Ⅱ）根据圆的对称性，点G落在与y轴垂直的直线上，令N（-2，0），推出直线PN的方程，求出M、N的坐标，推出BM：y=-3x-2，猜想点G落在定直线y=1上，联立直线与圆的方程，利用韦达定理以及判别式，求出BM的方程，然后判断直线AN与BM的交点在一条定直线上．

解答 满分（14分）．
解：（Ⅰ）①当k不存在时，|MN|=|AB|=4不符合题意-----------------------（1分）
②当k存在时，设直线l：y=kx+4
∵$|MN|=2\sqrt{3}$∴圆心O到直线l的距离$d=\sqrt{{2^2}-3}=1$------------------（3分）
∴$\frac{|4|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=1$，解得$k=±\sqrt{15}$-----------------------（5分）
综上所述，满足题意的直线l方程为$y=±\sqrt{15}x+4$-----------------------（6分）
（Ⅱ）根据圆的对称性，点G落在与y轴垂直的直线上
令N（-2，0），则直线$PN：\frac{x}{-2}+\frac{y}{4}=1?y=2x+4$与圆O：x²+y²=4联立得：5x²+16x=12=0，
∴${x_M}=-\frac{6}{5}$，∴$N（-\frac{6}{5}，\frac{8}{5}）$，BM：y=-3x-2
所以直线AN：x-y+2=0与BM的交点G（-1，1），
猜想点G落在定直线y=1上．----------------------（8分）
下证：$\left\{\begin{array}{l}y=kx+4\\{x^2}+{y^2}=4\end{array}\right.$
得：（1+k²）x²+8kx+12=0$\left\{\begin{array}{l}△={（8k）^2}-48（1+{k^2}）＞0\\{x_1}+{x_2}=\frac{-8k}{{1+{k^2}}}\\{x_1}{x_2}=\frac{12}{{1+{k^2}}}\end{array}\right.$------------------------（10分）
直线AN：$\frac{y-2}{x}=\frac{{{y_1}-2}}{x_1}$，直线BM：$\frac{y+2}{x}=\frac{{{y_2}+2}}{x_2}$
消去x得：$\frac{y-2}{y+2}=\frac{{（{y_1}-2）{x_2}}}{{（{y_2}+2）{x_1}}}$
要证：G落在定直线y=1上，只需证：$\frac{1-2}{1+2}=\frac{{（{y_1}-2）{x_2}}}{{（{y_2}+2）{x_1}}}$
即证：$\frac{-1}{3}=\frac{{（k{x_1}+2）{x_2}}}{{（k{x_2}+6）{x_1}}}$
即证：-kx₁x₂-6x₁=3kx₁x₂+6x₂
即证：4kx₁x₂+6（x₁+x₂）=0
即证：$4k\frac{12}{{1+{k^2}}}-6\frac{8k}{{1+{k^2}}}=0$
显然成立．
所以直线AN与BM的交点在一条定直线上．--------------------------（14分）

点评 本题考查直线、圆、用几何法与代数法研究直线与圆位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，探究论证的能力，考查数形结合、分类与整合，化归与转化等数学思想．