Question

8．已知函数f（x）=$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{x}$．
（1）用单调性定义证明f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数；
（2）若f（x）在[$\frac{1}{4}$，m]上的值域是[$\frac{1}{2}$，2]，求a和m的值．

Answer 1

分析 （1）设任意x₂＞x₁＞0，作差得f（x₂）-f（x₁）＞0即可；（2）根据函数的单调性得到不等式组解出即可．

解答 解：（1）证明：设任意x₂＞x₁＞0，则x₂-x₁＞0，x₁ x₂＞0，
∵f（x₂）-f（x₁）=（$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$）-（$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{{x}_{1}}$）=$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{2}{-x}_{1}}{{{x}_{1}x}_{2}}$＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在（0，+∞）上是单调递增的．
（2）∵f（x）在$[{\frac{1}{4}，m}]$上单调递增，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（\frac{1}{4}）=\frac{1}{a}-4=\frac{1}{2}}\\{f（m）=\frac{1}{a}-\frac{1}{m}=2}\end{array}\right.$，
易得a=$\frac{2}{9}$，m=$\frac{2}{5}$．

点评 本题考查了函数的单调性的定义问题，考查单调性的应用，本题是一道中档题．