Question

9．设函数$f（x）={x^3}-\frac{1}{2}{x^2}-2x+5$，若对于任意x∈[-1，2]都有f（x）＜m成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 求导f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），从而可判断出f（x）在[-1，-$\frac{2}{3}$），（1，2]上单调递增，在（-$\frac{2}{3}$，1）上单调递减；从而求得f_max（x）=f（2）=7；从而解得．

解答 解：∵$f（x）={x^3}-\frac{1}{2}{x^2}-2x+5$，
∴f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），
∴当x∈[-1，-$\frac{2}{3}$），（1，2]时，f′（x）＞0；
当x∈（-$\frac{2}{3}$，1）时，f′（x）＜0；
∴f（x）在[-1，-$\frac{2}{3}$），（1，2]上单调递增，在（-$\frac{2}{3}$，1）上单调递减；
且f（-$\frac{2}{3}$）=-$\frac{8}{27}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{9}$+2×$\frac{2}{3}$+5=5+$\frac{22}{27}$，f（2）=8-$\frac{1}{2}$×4-2×2+5=7；
故f_max（x）=f（2）=7；
故对于任意x∈[-1，2]都有f（x）＜m成立可化为7＜m；
故实数m的取值范围为（7，+∞）．

点评 本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的处理方法，属于中档题．