Question

【题目】如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是等腰三角形，∠CAD=120°，AD=DE=2AB．
（I）求证：平面BCE⊥平面CDE；
（II）求平面BCE与平面ADEB所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明：取CD的中点F，EC的中点P，连接BP，PF，
∴PF∥ED，PF= ，
由已知得，AB∥DE，AB= DE，
∴AB∥PF，AB=PF，则四边形ABPF为平行四边形，得BP∥AF，
∵AB∥DE，AB⊥平面ACD，∴DE⊥平面ACD，
又AF平面ACD，∴AF⊥ED．
又△ACD是等腰三角形，F是CD的中点，∴AF⊥CD．
∴BP⊥DE，BP⊥CD，又DE∩CD=D，∴BP⊥平面CDE．
又BP平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE；
（Ⅱ）解：以F为坐标原点，分别以FD、FA、FP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
设AD=2，∵∠CAD=120°，∴CD= ，
则C（ ，0，0），D（ ，0，0），A（0，1，0），B（0，1，1），E（ ，0，2）．
∴ ，
设平面BCE的一个法向量为 ，
则 ，取x=1，得 ．
又 ， ．
设平面ADEB的一个法向量 ，
则 ，令x=1，得 ．
设平面BCE与平面ADEB所成的锐角为θ，
则cosθ=|cos＜ ＞|= ．
【解析】（Ⅰ）取CD的中点F，EC的中点P，连接BP，PF，由已知结合三角形中位线定理可得四边形ABPF为平行四边形，得BP∥AF，进一步求得DE⊥平面ACD，得到AF⊥ED．再由△ACD是等腰三角形，F是CD的中点，得到AF⊥CD．由线面垂直的判定可得BP⊥平面CDE．则平面BCE⊥平面CDE；（Ⅱ）以F为坐标原点，分别以FD、FA、FP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，由已知求出所用点的坐标，得到平面BCE与平面ADEB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面BCE与平面ADEB所成锐二面角的余弦值．
【考点精析】利用平面与平面垂直的判定对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．